Poster Session

Sertifikat Seminar 2 Buah

Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap

Keuntungan :

-          menentukan apakah sistem konsisten

-          menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka

-          ebih mudah untuk memecahkan

kelemahan :

-          memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.

Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.

Metode iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Suatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

Rumus iterasi untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut. Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, 3, …,

[sunting] Algoritma Iterasi Gauss-Seidel

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks koefisien n × n , b vektor konstanta n × 1 , dan X vektor n × 1 yang perlu di cari.

INPUT : n, A, b dan hampiran awal Y = (y₁ y₂ y₃ ...y_n)^T, batas toleransi T dan maksimum iterasi N.

OUTPUT : X = (x₁ x₂ x₃ ...x_n)^T atau pesan "gagal".

LANGKAH-LANGKAH :

1. Set penghitung iterasi k = 1

2. WHILE k <= N DO

(a) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, hitung :

(b) Set X = (x₁ x₂ x₃ ...x_n)^T

(c) IF ||X - Y|| < T THEN STOP

(d) Tambah penghitung iterasi, k = k + 1

(e) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, Set y_i = x_i

(f) Set Y = (y₁ y₂ y₃ ...y_n)^T

Contoh-1

Selesaikan sistem persamaan linier dengan metode Eliminasi Gauss. gunakan 6 angka signifikan.

(Solusi eksak : x₁ = 3,   x₂ = -2.5,   x₃ = 7 )

            3 x₁ – 0.1 x₂ – 0.2 x₃  =  7.85

         0.1 x₁ +    7 x₂ – 0.3 x₃  =  -19.3

         0.3 x₁ – 0.2 x₂ +  10 x₃  =  71.4

Penyelesaian:

        x₁ = 3,   x₂ = -2.5,   x₃ = 7.00003

Chek hasil:

3 *    (3) – 0.1 * (-2.5) – 0.2 * (7.00003) =  7.84999

0.1 * (3) +    7 * (-2.5) – 0.3 * (7.00003) =  -19.300

0.3 * (3) – 0.2 * (-2.5) +  10 * (7.00003) =  71.4003

Forward Elimination: for k=1…n-1 for i=k+1…n pivot = A(i,k)/A(k,k) for j=k…n A(i,j) = A(i,j) - pivot * A(k,j) end B(i) = B(i) - pivot * B(k) end end Back Substitution: X(n) = B(n)/A(n,n); for i=n-1…1 step-1 sum = 0 for j=i+1…n sum = sum + A(I,j)*X(j) end X(i) = (B(i)-sum) / A(i,i) end Pivoting: i_pivot = k big = |a(k,k)| for ii = k+1…n dumy = |a(ii,k)| if ( dumy>big ) big = dumy i_pivot = ii end if end if (i_pivot ~= k) for jj = k…n dummy = A(pivot,jj) A(i_pivot,jj)=A(k,jj) A(k,jj)=dummy; end dummy = C(i_pivot) C(i_pivot) = C(k) C(k) = dummy End if

Forward Elimination:

for k=1…n-1

      for i=k+1…n

           pivot = A(i,k)/A(k,k)

           for j=k…n  

                A(i,j) = A(i,j) - pivot * A(k,j)

           end

           B(i) = B(i) - pivot * B(k)

      end

end

Back Substitution:

X(n) = B(n)/A(n,n);

for i=n-1…1  step-1

      sum = 0

      for j=i+1…n

           sum = sum + A(I,j)*X(j)

      end

      X(i) = (B(i)-sum) / A(i,i)

end

Pivoting:

i_pivot = k

big = |a(k,k)|

for ii = k+1…n

      dumy = |a(ii,k)|

      if ( dumy>big )

          big = dumy

          i_pivot = ii

      end if

end

if (i_pivot ~= k)

    for jj = k…n

        dummy = A(pivot,jj)

        A(i_pivot,jj)=A(k,jj)

        A(k,jj)=dummy;

    end

    dummy = C(i_pivot)

    C(i_pivot) = C(k)

    C(k) = dummy

End if

Kalkulator Eliminasi Gauss-Jordan

• Masukkan dimensi (ukuran) dari matriks (Baris x Kolom).
• Ukuran maksimum yang dapat diterima kalkulator ini adalah 9x9.
• Nilai hasil dari setiap operasi akan dibulatkan ke 3 angka di belakang koma.
• Matriks Identitas hanya akan ditambahkan secara otomatis jika dimensi (ukuran) matriks yang terbentuk kurang atau sama dengan 9x9